PARTICLE IN TWO DIMENSIONAL NOX

Consider a particle of mass (m) potential moving inside a two dimensional box along x, y axes upto a, b respect to the..?? 🤔....., 

                      The particle is moving in x and y axis, for this particle the wave function ψ and the eigen value E has to be determined.

      The fundamental schrodinger equation is, 

∇²ψ +  8π²m   (E−V) ψ= 0 ......................(1)

             h²

The laplacian operator is, 

        ∇² =  ∂²  +  ∂²  +  ∂²  

                ∂x₂   ∂y²      ∂z²

For the particle moving in x and y axis,

            ∇² =  ∂²  +  ∂²   

                    ∂x²     ∂y²

More over the particles inside the box, the potential energy is zero  [ v = 0 ]

Therefore,

 ∂²ψ  +  ∂²ψ  +  8π²m  E. ψ = 0............ (2)

∂x²       ∂y²         h²

The wave function ψ is a function of denoted by x, y. This ψ cannot be solved directly but it can be solved separation of variables method.

     ψ (ₓᵧ) = Xx. Yy  .......................... (3)

Differentiating equation (3) write x

         ∂ψ  = Y  ∂x  

         ∂x          ∂x

Again, differntiating equation write. X

           ∂²ψ    = Y  ∂²x  

           ∂x²             ∂x

Similarly,

       ∂²ψ   =  X  ∂²y  

      ∂y²              ∂y²

Eqution (2) becomes,

Y  ∂²x  + X  ∂²y  +  8π²m  E. ψ = 0

   ∂x²           ∂y²        h²

Dividing the above equation by X, Y. 

 1    ∂²x  +  1    ∂²y   +  8π²m  E = 0

 x    ∂x²      Y    ∂y²         h²

 1   ∂²x  +  1   ∂²y   = − 8π²m  E ..........(4)

 x   ∂x²       Y   ∂y²           h²

Let   1     ∂²x  = −∝²₁ ;  1    ∂²y   = − ∝²₂

         x     ∂x²                 y    ∂y²

−∝²₁ − ∝²₂ = −  8π²m  E

                           h²

∝₁² + ∝²₂ =  8π²m  E .......................(5)

                       h²

since,

               1    ∂²x   = − ∝²₁

                x    ∂x²

               ∂²x  = − ∝₁²x

               ∂x²

    (or)

       ∂²x   + ∝₁² × = 0 ..........................(6)

       ∂x²

This equation is similar to the problem of the particle in one dimensional box.

               For this problem the solutions are already summary known.

Solution of equation (6) is,

        Xx = √2/a  sin (  nxπ  ) x

                                      a

Similarly,

            Yy = √2/b sin ( nyπ ) y

                                        b

Therefore, equation (3) becomes,

ψ =   2      sin( nxπ ) x. sin ( nyπ ) y ..... (7)

      √a.b             a                     b

Using the solution of the particle in one dimensional box the ∝ values are defined as,

∝₁ =  nxπ   ; ∝₂ =  nyπ   

           a                  b

Equation (5) becomes,

∝₁² =  nx²π²   , ∝²₂ =  ny²π²   

            a²                      b²

   nx²π²   +  ny²π²   =  8π²m  E

      a²            b²              h²

        nx²   +  ny²   =   8mE   

         a²         b²            h²

     E = ( nx²    +  ny²  )    h²   ...............(8)

               a²          b²        8m

This equation gives the energy of the particle inside the three dimensional box.

Summary :-

            Eigen function ;

ψ =   2     sin ( nxπ  ) x. sin ( nyπ ) y

       √a.b            a                      b

                [ ʋ = a.b ]

Eigen value ;

  E = ( nx²   +  ny²  )    h²   

           a²          b²        8m